A Estatística como uma Aplicação
Uma estatística é formalmente definida como uma função $h: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. Definimos a probabilidade de a estatística cair em um conjunto $B$ usando a pré-imagem:
$$h^{-1} B = \{(x_1, x_2, \dots, x_n) : h(x_1, x_2, \dots, x_n) \in B\}$$
Fundamento i.i.d.
Para uma amostra de variáveis aleatórias i.i.d. (independente e identicamente distribuídas), a probabilidade conjunta de um ponto amostral específico $(x_1, \dots, x_n)$ é o produto de suas probabilidades marginais: $p(x_1)p(x_2)\dots p(x_n)$. Esse produto serve como peso para cada ponto ao calcular a probabilidade total de a estatística assumir um valor específico.
Considere uma população discreta onde $p_X(1) = 1/2$, $p_X(2) = 1/4$ e $p_X(3) = 1/4$. Extraímos uma amostra de tamanho $n=2$ ($X_1, X_2$) e definimos nossa estatística como a média geométrica: $Y_2 = (X_1 X_2)^{1/2}$.
Para encontrar a distribuição de $Y_2$, listamos todas as 9 combinações possíveis $(X_1, X_2)$, calculamos suas probabilidades conjuntas e o valor resultante de $Y_2$:
| Par $(x_1, x_2)$ | Prob $P(x_1)P(x_2)$ | $Y = \sqrt{x_1 x_2}$ |
|---|---|---|
| (1, 1) | 1/4 | 1,000 |
| (1, 2), (2, 1) | 1/8 + 1/8 = 1/4 | 1,414 |
| (1, 3), (3, 1) | 1/8 + 1/8 = 1/4 | 1,732 |
| (2, 2) | 1/16 | 2,000 |
| (2, 3), (3, 2) | 1/16 + 1/16 = 1/8 | 2,449 |
| (3, 3) | 1/16 | 3,000 |
Distribuições Exatas vs. Assintóticas
Antes de avançar para teoremas limite como o Teorema do Limite Central (TLC), devemos dominar a "Distribuição Exata". Isso envolve calcular a função específica de massa ou densidade de probabilidade para uma estatística dado um $n$ pequeno e finito. Quando a forma analítica se torna intratável, recorremos a simulações numéricas como as **aproximações de Monte Carlo**.